mishin05 (mishin05) wrote,
mishin05
mishin05

Category:

Что такое, на самом деле, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ? - 2

Продолжение. Начало в  первой части: Что такое, на самом деле, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ? - 1

В конце первой части я разместил скриншот из справочника с двумя рисунками (Рис.6 и Рис.7). Я немного добавил к Рис.7 для того, чтобы был очевиден один важный момент:


Функция Ф(x) - площадь криволинейной трапеции. Если правую сторону этой трапеции смещать влево, то в точке "a" площадь этой трапеции станет равна нулю! Это означает, что значение "a" для переменной "t" будет являться значением "0" для переменной "x". На самом деле с этими чертежами не все так, как кажется, но это тема другой статьи (см. п.3 первой части данной статьи. Связано это с тем, что при перенормировке части оси аргументов T'T переменная "x" будет являться параметром для переменной "t" при сохранении масштаба числовой оси (t=x+a). Но, в этом случае она не может стать аргументом, так как ключевое условие переменной в роли аргумента - есть независимость ее значений. Другими словами: либо "x" - зависимая переменная, но тогда она не может быть аргументом, либо - независимая, и тогда она может принимать любое произвольное значение, как и переменная "t", но на участке оси T'T и тогда этот участок должен иметь масштаб, отличный от масштаба числовой оси T'T).

Теперь очень важный момент. Функция и приращение функции - два самостоятельных математических объекта! Если функция зависит от одной переменной, то приращение - от двух! Представить образно можно с помощью площади квадрата. Площадь квадрата - вторая степень длины стороны. То есть, зависит от одного аргумента: длины стороны квадрата. Разность двух квадратов - есть площадь прямоугольника, то есть функция двух аргументов: длин двух сторон.

Алгоритм отыскания производной производится действием дифференцирования. Это действие производится над приращением функции. Обратное действие - интегрирование заканчивается приращением функции. Получение функции при интегрировании возможно в одном случае: когда существует значение функции, равное нулю. Во всех остальных случаях результат интегрирования - есть приращение (формула Ньютона-Лейбница).


КАК "ПОЩУПАТЬ" ДИФФЕРЕНЦИАЛ?
Показываю на примере рисунка из справочника (Рис.6):

К рисунку из справочника я добавил некоторые подробности красным цветом, убрав, одновременно, нечто лишнее. Исходим из обозначений рассматриваемой теоремы. На чертеже я отметил красным цветом четыре произвольных значения аргумента, обозначенные одной и той же буквой "m". В то же время, в одном из этих значений начертил, таким же красным цветом, отрезок (три остальных отрезка чертить не стал). Этот отрезок означает производную функции Ф(t) (или же значение функции y=f(t), что равносильно). Четырьмя буковками "m" я обозначил четыре произвольных инициации начала процесса интегрирования.

То есть действие интегрирования происходит схематично следующим образом: выбирается произвольное (в общем виде) значение производной и умножается на дифференциал аргумента. Результатом будет дифференциал функции. Допустим, мы выбрали все четыре произвольные значения производных, обозначенных буквами "m" и начертили четыре красных отрезка. Теперь устремим их друг к другу таким образом, что они будут расположены один возле другого и между ними не будет ни одного черного отрезка. То есть, получится площадь шириной четыре отрезка и длиной, согласно функциональному правилу (закону). Четыре отрезка подряд - это еще площадь, три подряд - площадь, два подряд - площадь, один... СТОП! Уже - линия. Ширина одной линии с расстоянием до соседней - уже не линия, но еще не площадь. Это и есть дифференциал! Схематично. Образно. Потому, что точка - понятие относительное, а не абсолютное. Эти два соседних красных отрезка (между ними нет ни одного другого отрезка) и есть приращение, устремленное к нулю. Если отрезок один, то приращение УЖЕ РАВНО НУЛЮ.

Итак, у нас есть дифференциал функции Ф(t). Это значение производной, умноженное на расстояние до отрезка, расположенного рядом. Представим, что это чуть утолщенный красный отрезок y=f(m) (утолщен он потому, чтобы "приклеить", "прикрепить" к себе находящийся рядом отрезок). Теперь начинаем с двух сторон "приклеивать" (прикреплять) соседние дифференциалы и наращиваем площадь до любых граничных отрезков. Наращивание я показал схематично двумя красными стрелками.



Например, установим границу интеграла слева (нижний предел интегрирования) в точке "a", а справа (верхний предел интегрирования) в точке "х". Это и будет та самая функция Ф(x) в обозначениях теоремы. Эту площадь можно записать в обозначениях аргумента "t", а можно - в обозначениях аргумента "x".
Эти записи будут равнозначны, потому, что будут указывать на один и тот же математический объект (смотрим на формулу под рисунком)!








Ниже приведу еще три примера баз описания:






ПРОДОЛЖЕНИЕ ЗДЕСЬ.

Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments