mishin05 (mishin05) wrote,
mishin05
mishin05

Categories:

Краткая методичка для математиков и не только: "Чем приращение отличается от дифференциала"



Дифференциал - это не очень маленькое приращение. Это приращение эквивалентное нулю. То есть, оно неотличимо от нуля (Леонард Эйлер) относительно той величины, приращение которой рассматривается. То есть, либо есть приращение, но нет дифференциала и нет производной. Либо есть дифференциал и есть производная, но нет приращения. И то, и другое вместе - это отклонение рассудка от адекватного восприятия реальности. Либо - профанация, когда люди вызубрили нечто, но не понимают сути.

Как это пощупать "на пальцах"? Есть понятия несоизмеримые. Например, длина не соизмерима с площадью. То есть, площадь сама по себе величина измеримая. Длина, тоже, сама по себе измерима. Но длина и площадь - величины несоизмеримые. У отрезка нет площади. Его площадь равна нулю. Но у него есть длина. Она нулю не равна. Опять же, перейдем к площади круга и длине окружности.

Длина окружности - функция радиуса. Площадь круга - функция радиуса. Если рассматривать эти функции отдельно друг от друга, то они совершенно независимы и существуют независимо друг от друга. То есть, это самостоятельные функции.

Но если использовать алгоритм дифференцирования: "Производная - есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при устремлении последнего к нулю", то функция площади круга, как функция длины отрезка, назыаемого радиусом будет связана с функцией длины окружности, как функция этого же аргумента.

Еще раз. Сами по себе это две самостоятельные функции. Но, при использозовании действия "дифференцирования", одна из этих функций станет структурным элементом другой функции. Для чего это нужно? Для адекватного описания действительности. Потому, что почти все объекты действительного мира меняют свои размеры именно интегрированием.

Приведу схематичный пример. Например, ствол дерева увеличивается объемно, в размерах, путем действия интегрирования. Объем этого ствола можно продифференцировать по радиусу на части по аналогу рулона туалетной бумаги и получить части ствола в виде множества частей одного типа. Если ствол распилить на части бессистемно но на одинаковые по объему части, то это позволит получить множество частей свола разного типа.. Это действие называется делением.

Схематичный пример действий дифференцирования и интегрирования расположен на рисунке в начале статьи.

Это схема. Эту схему можно мысленно превратить в математическую модель. Если Вы будете интегрировать площадь круга по дифференциалу радиуса, то можно получить объем конуса высотой, равной радиусу основания конуса. Это будет выглядеть следующим образом. Вначале будет точка - радиус равен нулю. Смотрим на пирамидку на рисунке. Почти такую же мы будем составлять мысленно из колечек того же радиуса, какой будет и высота пирамидки.

То есть, на точку "надеваем" колечко на том же самом расстоянии, что и радиус самого колечка, потому, что мы интегируем площади колечек именно по дифференциалу длины того отезка, который называется радиусом. Надеваем все больше колечек, выполняя исходное обязательное условие: Радиус каждого очень тонкого колечка равен расстоянию от первоначальной точки (вершины "пирамидки") до этого колечка. Будем получать объем пирамидки, равный интегралу площади колечек по диференциалу радиуса. Я, надеюсь, схема понятна. Именно эта модель вынесена в заголовок моего блога.

Теперь, вернемся к заявленной теме статьи. Что такое неопределенность "ноль, деленный на ноль" или что такое бесконечность? Это модели нашего разума, а не модели реальности. Если часть площади круга представить как кольцо, ограниченное внутренней окружностью и внешней, то площадь кольца и будет приращением функции площади круга. Расстояние можду этими двумя окружностями и будет приращением аргумента.

Теперь ключевой момент. Радиус - это длина отрезка. Отрезок имеет длину. Точка длины не имеет. Это несоизмеримые объекты. Длина точки, как и ее площадь равны нулю. Круг имеет площадь, то есть, это интеграл длин окружностей по дифференциалу радиуса. Каждая окружность имеет длину, но не имеет площади. Для части площади круга, как приращения его площади площадь окружности равна нулю. Размер точки как для длины окружности так и для площади круга тоже равен нулю.

Если площадь кольца начать мысленно сжимать, то есть устремить друг к другу внешнюю окружность к внутренней, то пределом площади такого кольца станут две окружности, расположенные рядом. То есть, между ними не "влезет" другая окружность. Это будет элементарное приращение площади круга. Что с радиусом? Его длина станет элементарной и будет находиться между двумя соседними точками. Это и будет элементарным приращением аргумента.

Теперь самый важный момент. Две отдельные точки, находящиеся рядом - не есть длина. Две окружности, находящиеся рядом - не есть площадь. Что делает длиной две соседние точки и площадью две соседние окружности? Дифференциал! Это величина меньшего порядка, чем точка, так же, как точка величина меньшего порядка, чем длина и так же, как длина - величина меньшего порядка, чем площадь! Я уже показывал как геометрически представить себе дифференциал. По-моему это в серии статей о том, что такое, на самом деле, неопределенный интеграл. Кому будет интересно - найдет...

Все величины геометрических объектов - относительны точке. Все численные величины относительны единице измерения. Вот мы и подошли к основе "структурного анализа". Что такое сама точка? Я уже показывал определение точки, данное Рене Декартом. Точка, В МАТЕМАТИКЕ - объект относительный, а не абсолютный, как и число.

P.S. Можно, конечно, написать учебник. В котором подробно все изложить с иллюстрациями и определениями. Но отечественным математикам это не нужно. Они сами это написали. Ну и хрен с ними... Пусть интеллектуально опускают детей идиотизмами типа: производная - есть скорость изменения функции. Раз родителям этих детей все равно. Бредовые шаблоны встраиваются мозгом в систему видения мира...

Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 50 comments