mishin05 (mishin05) wrote,
mishin05
mishin05

Categories:

Различие между геометрической и топологической визуализацией аналитического выражения - 1



Для начала освежим матчасть...)))

Функции могут быть аналитическими и не аналитическими. Аналитической является числовая функция, значения которой, с соответствующими значениями аргумента, представляют собой пары чисел, удовлетворяющие одному и тому же аналитическому выражению, представляющему собой общее правило для всех этих пар чисел.

Ботаники, составляющие математический раздел Википедии немного запутались в таком простом вопросе... )))

Почему они запутались? Показываю на пальцах...

Если у Вас есть функциональная зависимость двух переменных, определяемая аналитическим выражением, то вы легко можете составить таблицу или обозначить в Декартовой системе координат топологическое множество точек, называемое "графиком функции" при помощи абсцисс и ординат, полученных из аналитического выражения, определяющего эту зависимость.

Но в этом мире существуют люди, которые теряют логическую ориентацию во множестве своих мыслеформ и создают мысленные модели, у которых нет аналогов в реальном мире потому, что они видят причинно-следственные связи НАОБОРОТ. Например, для них не деревья качаются потому, что дует ветер, а ветер вызван качанием деревьев. То есть в реальном мире, как и в их выдуманном, есть и ветер, и деревья, и качание, только связь между ними в их абстрактном мире несколько иная, чем в реальном. Это как пример...

Так вот, если Вы представите множество топологических точек (элементов множества), называемаемое графиком функции, как некую геометрическую линию, у вас может возникнуть "гениальная" идея: А ЧТО ЕСЛИ ЛЮБАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ ЯВЛЯЕТСЯ АНАЛОГОМ какого-либо "графика функции"?!

То есть, каждая точка на этой линии является точкой "касания" соответствующих "абсцисс" и "ординат"!!!

Не буду подробно углубляться в данный вопрос, покажу только несколько ключевых моментов, как шизофрения пытается завуалировать себя под реальность... ))))

Проводим произвольную линию в пространственной прямоугольной системе координат. Пока все нормально. Это может быть тректория полета мухи, например...

Но, есть некий ключевой момент. У нас есть цель: использовать эту линию для визуализации объектов матанализа, то есть призводных и интегралов!

Поэтому производим некий шизофренический логический маневр. Представляем, себе, что это уже не пространственная система координат с независимыми координатными осями, а Декартова! В которой значения, откладываемые по осям жестко связаны неким общим правилом, составляющим аналитическое выражение, то есть, попросту говоря, это правило является формулой.

1. Попытаемся начертить таблицу и начнем вставлять в нее измеренные нами координаты точек на выбранной линии. Затем пытаемся составить аналитическое выражение, в котором эти координаты были бы значениями двух переменных. Допустим, у нас отсутствует слух и мы не слышим как математика нам кричит: "Чувак, выключи дурака и иди сходи на консультацию к психотерапевту!". Потому, что мы считаем себя МАТЕМАТИКАМИ...

2. Тогда придумываем другой вариант. А что, если эту линию можно разбить на такие участки, которые будут являться кусочками некоторых уже известных или пока еще не известных, но теоретически возможных графиков функций?! Но, тогда возникает следующая проблема: на всех отдельных кусочках производные и интегралы будут "своими" и никак не связанными друг с другом! Тогда придумываем такой финт: "дифференцируемость функции на промежутке".

Но все дело в том, что эти промежутки необходимо так же вычерчивать, имея под рукой формулы общего вида для каждого участка в отдельности... )))

Проведенная произвольно линия не будет визуализацией никакой функции, потому, что ее точки не будут топологическими точками, которые появляются на линии графика только в том случае, когда в них заключено значение производной, а для этого ордината этой точки должна быть значением подынтегральной функции в интеграле Римана в его верхнем пределе. Подробнее не описываю, так как это не учебник.

Теперь переходим к непосредственно самой статье. )))

Для начала я приведу слова Рене Декарта, который показал приниципиальное различие между понятиями меры и порядка в работе "Правила для руководства ума".
Нас, в этой статье, будет интересовать различие между двумя зрительными объектами, визуализирующими одно и то же математическое понятие: "ЧИСЛО" в Декартовой плоскости.

Декарт подробно объясняет ключевой для его системы коодинат момент. Для того, чтобы визуализировать действия над числами, необходимо изображать их, как частный случай, в виде соответствующих длин линий при условии произвольного выбора базового понятия: ЕДИНИЧНЫЙ ОТРЕЗОК.

Что мы и делаем в Декартовой ситеме координат, располагая числа на числовой оси.

Для того, чтобы показать порядок расположения ЧИСЕЛ, когда они являются элементами множества, достаточно для их изображения воспользоваться понятием: ТОЧКА.

Мы и это делаем, ставя точки на концах ординат, откладываемых на соответствующих значениях аргумента. Так как точкой визуализируется элемент множества.

Приведу скриншот из этой его работы с указанием привязки к порядку расположения текста в работе:




То есть, человек, который придумал расположение функциональной зависимости в виде ортогональной ситемы координат, названной его именем, показывает, что частично в этой ситеме координат функциональные объекты будут изображаться либо в виде мерных геометрических линейных объектов, либо в виде топологических точек, если они будут рассматриваться как элементы множества.

Теперь показываю "на пальцах". Значения аргумента и значения функции изображаются с помощью геометрических отрезков, то есть с помощью абсцисс и ординат которые являются элементами МЕРЫ. То есть используются длины отрезков.

Точки верхних концов вертикальных отрезков (ординат) - есть топологические элементы множества {y}. Но! Участки (подмножества) этого множества есть ординаты!

Ключевой момент: Множество {y} расположено на оси ординат. Ординаты - есть участки множества {y}, то есть: подмножества. Верхние точки ординат есть локализованные отдельные элементы этого множества.

Соседние элементы этого множества располагаются вертикально в соответствии с осью YY'. Таков порядок их расположения в соответствии с направлением вертикальной числовой оси.

Вопрос: Если элементы множества {y}, расположены не вертикально, а на соответствующих абсциссах, то эта линия есть визуализация какой функции? Элементы множества имеют такие же значения как и на вертикальной линии!

Чтобы ответить на этот вопрос, нам потребуется изображение не смешанное: геометро-топологическое в виде Декартовой плоскости, а чисто геометрическое, в виде пространственной системы координат, в котором линия графика будет не объектом ПОРЯДКА, а объектом МЕРЫ. Тогда можно будет дать ответ: что изображается в виде условной топологической линии графика функции, которая не является геометрической линией, то есть длина этой воображаемой линии не является метрической характеристикой.

Продолжение следует



Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments