Для начала освежим матчасть...)))
Функции могут быть аналитическими и не аналитическими. Аналитической является числовая функция, значения которой, с соответствующими значениями аргумента, представляют собой пары чисел, удовлетворяющие одному и тому же аналитическому выражению, представляющему собой общее правило для всех этих пар чисел.
Ботаники, составляющие математический раздел Википедии немного запутались в таком простом вопросе... )))
Почему они запутались? Показываю на пальцах...
Если у Вас есть функциональная зависимость двух переменных, определяемая аналитическим выражением, то вы легко можете составить таблицу или обозначить в Декартовой системе координат топологическое множество точек, называемое "графиком функции" при помощи абсцисс и ординат, полученных из аналитического выражения, определяющего эту зависимость.
Но в этом мире существуют люди, которые теряют логическую ориентацию во множестве своих мыслеформ и создают мысленные модели, у которых нет аналогов в реальном мире потому, что они видят причинно-следственные связи НАОБОРОТ. Например, для них не деревья качаются потому, что дует ветер, а ветер вызван качанием деревьев. То есть в реальном мире, как и в их выдуманном, есть и ветер, и деревья, и качание, только связь между ними в их абстрактном мире несколько иная, чем в реальном. Это как пример...
Так вот, если Вы представите множество топологических точек (элементов множества), называемаемое графиком функции, как некую геометрическую линию, у вас может возникнуть "гениальная" идея: А ЧТО ЕСЛИ ЛЮБАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ ЯВЛЯЕТСЯ АНАЛОГОМ какого-либо "графика функции"?!
То есть, каждая точка на этой линии является точкой "касания" соответствующих "абсцисс" и "ординат"!!!
Не буду подробно углубляться в данный вопрос, покажу только несколько ключевых моментов, как шизофрения пытается завуалировать себя под реальность... ))))
Проводим произвольную линию в пространственной прямоугольной системе координат. Пока все нормально. Это может быть тректория полета мухи, например...
Но, есть некий ключевой момент. У нас есть цель: использовать эту линию для визуализации объектов матанализа, то есть призводных и интегралов!
Поэтому производим некий шизофренический логический маневр. Представляем, себе, что это уже не пространственная система координат с независимыми координатными осями, а Декартова! В которой значения, откладываемые по осям жестко связаны неким общим правилом, составляющим аналитическое выражение, то есть, попросту говоря, это правило является формулой.
1. Попытаемся начертить таблицу и начнем вставлять в нее измеренные нами координаты точек на выбранной линии. Затем пытаемся составить аналитическое выражение, в котором эти координаты были бы значениями двух переменных. Допустим, у нас отсутствует слух и мы не слышим как математика нам кричит: "Чувак, выключи дурака и иди сходи на консультацию к психотерапевту!". Потому, что мы считаем себя МАТЕМАТИКАМИ...
2. Тогда придумываем другой вариант. А что, если эту линию можно разбить на такие участки, которые будут являться кусочками некоторых уже известных или пока еще не известных, но теоретически возможных графиков функций?! Но, тогда возникает следующая проблема: на всех отдельных кусочках производные и интегралы будут "своими" и никак не связанными друг с другом! Тогда придумываем такой финт: "дифференцируемость функции на промежутке".
Но все дело в том, что эти промежутки необходимо так же вычерчивать, имея под рукой формулы общего вида для каждого участка в отдельности... )))
Проведенная произвольно линия не будет визуализацией никакой функции, потому, что ее точки не будут топологическими точками, которые появляются на линии графика только в том случае, когда в них заключено значение производной, а для этого ордината этой точки должна быть значением подынтегральной функции в интеграле Римана в его верхнем пределе. Подробнее не описываю, так как это не учебник.
Теперь переходим к непосредственно самой статье. )))
Для начала я приведу слова Рене Декарта, который показал приниципиальное различие между понятиями меры и порядка в работе "Правила для руководства ума".
Нас, в этой статье, будет интересовать различие между двумя зрительными объектами, визуализирующими одно и то же математическое понятие: "ЧИСЛО" в Декартовой плоскости.
Декарт подробно объясняет ключевой для его системы коодинат момент. Для того, чтобы визуализировать действия над числами, необходимо изображать их, как частный случай, в виде соответствующих длин линий при условии произвольного выбора базового понятия: ЕДИНИЧНЫЙ ОТРЕЗОК.
Что мы и делаем в Декартовой ситеме координат, располагая числа на числовой оси.
Для того, чтобы показать порядок расположения ЧИСЕЛ, когда они являются элементами множества, достаточно для их изображения воспользоваться понятием: ТОЧКА.
Мы и это делаем, ставя точки на концах ординат, откладываемых на соответствующих значениях аргумента. Так как точкой визуализируется элемент множества.
Приведу скриншот из этой его работы с указанием привязки к порядку расположения текста в работе:
То есть, человек, который придумал расположение функциональной зависимости в виде ортогональной ситемы координат, названной его именем, показывает, что частично в этой ситеме координат функциональные объекты будут изображаться либо в виде мерных геометрических линейных объектов, либо в виде топологических точек, если они будут рассматриваться как элементы множества.
Теперь показываю "на пальцах". Значения аргумента и значения функции изображаются с помощью геометрических отрезков, то есть с помощью абсцисс и ординат которые являются элементами МЕРЫ. То есть используются длины отрезков.
Точки верхних концов вертикальных отрезков (ординат) - есть топологические элементы множества {y}. Но! Участки (подмножества) этого множества есть ординаты!
Ключевой момент: Множество {y} расположено на оси ординат. Ординаты - есть участки множества {y}, то есть: подмножества. Верхние точки ординат есть локализованные отдельные элементы этого множества.
Соседние элементы этого множества располагаются вертикально в соответствии с осью YY'. Таков порядок их расположения в соответствии с направлением вертикальной числовой оси.
Вопрос: Если элементы множества {y}, расположены не вертикально, а на соответствующих абсциссах, то эта линия есть визуализация какой функции? Элементы множества имеют такие же значения как и на вертикальной линии!
Чтобы ответить на этот вопрос, нам потребуется изображение не смешанное: геометро-топологическое в виде Декартовой плоскости, а чисто геометрическое, в виде пространственной системы координат, в котором линия графика будет не объектом ПОРЯДКА, а объектом МЕРЫ. Тогда можно будет дать ответ: что изображается в виде условной топологической линии графика функции, которая не является геометрической линией, то есть длина этой воображаемой линии не является метрической характеристикой.
Продолжение следует
