mishin05 (mishin05) wrote,
mishin05
mishin05

Category:

Как в учебнике XXI века могли бы быть объяснены базовые понятия матанализа? Часть 1-я



Я напишу исключительно схематично, без подробных объяснений. Потому, что это - блог, а не учебник. Хочу разместить материал в видеолекциях, но не хватает средств на приобретение качественного компьютера. Поэтому ограничусь тем, что "под рукой". ))

Итак, для начала, необходимо дать пояснение "на пальцах": что такое дифференциал переменной и что такое производная и первообразная. Это и будет темой данной статьи.

Причем, дифференциал рассмотрим на геометрическом примере, а для производной и первообразной дадим физический и геометрический смысл.

Первое. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРЕМЕННОЙ.

В современных учебниках математики дифференциал рассматривается как часть приращения функции либо как приращение аргумента. То есть, этот математический объект рассматривается как объект МЕРЫ, то есть как величина, с помощью которой можно что-либо ПОСЧИТАТЬ.

Это полный абсурд. Леонард Эйлер в своих фундаментальных работах по матанализу: "Дифференцирование" и "Интегрирование" через строчку твердил: "дифференциал, с точки зрения измерения - есть абсолютный ноль!" мало того, пока приращение переменной не превратилось в ноль нельзя получить производную!

Только в момент обнуления приращения появляется функция, которая будет являться производной к исходной функции, дифференцируемой по заданному аргументу. Если приращение сколь угодно мало, но не ноль - производную получить невозможно!

Как представить себе дифференциал? В отличие от приращения, которое есть объект меры, дифференциал есть объект порядка. Этот порядок означает, что непрерывный математический объект: "переменная" дискретизируется по всей области значений. То есть, непрерывный аналоговый объект становится дискретным. Покажу на геометрическом примере.

Можно было бы использовать многоугольник Лейбница, но мы пойдем своим путем. ))))

Введем подстановку между аналитической визуализацией переменной в виде буквы латинского алфавита и длиной линии: "значения переменной в виде числа, подставляемого вместо выбранной буквы - есть отношения длины отрезка, соответствующего этому значению, к длине отрезка, произвольно определяемого как единичный".

Представим себе прямоугольник со сторонами "a" и "b":



Смотрим на сторону "a". Это непрерывный "цельный" геометрический объект который, при сохранинении своего неизменного линейного размера, может принимать любое произвольное численное значение. Почему? Потому, что этот объект может произвольно менять свой внутренний масштаб.

Допустим мы определили, что "a = 1". Это означает, что длина отрезка "a" - есть длина единичного отрезка.

Потом нам необходимо, для какой-либо цели, определить, что "a = 2". Это означает, что мы изменили длину единичного отрезка и тепрь он равен половине длины отрезка "a". И так далее...
Этот "произвол" производится потому, что длина отрезка "a" не связана с геометрическими размерами никакого иного геометрического объекта. То есть, эта длина: независимая.

Поэтому, если нам надо, например, для действия сложения, связать длину отрезка "a" с длиной другого отрезка, допустим, с длиной отрезка "b" то, точно так же, будем мысленно изменять внутренний масштаб отрезка "b", задавая ему необходимое значение, изменяя его собственный масштаб.

Если же потребуется привязка к внешнему масштабу, то отрезок "a" можно, к примеру, разместить на некоей общей числовой оси:



Разделим данный прямоугольник по стороне "a", произвольно, на две любые части. Например, вот так:



Площади правой и левой части не имеют никакого значения. Важен момент фиксации разделения непрерывной величины на части.

Отделяем две части друг от друга. Не важно на какое именно расстояния. Нам важна не мера, а порядок. Точно так же нас не интересует в каком именно месте на числовой оси мы располагаем точку отсчета (x = x - 0) и какую именно длину единичного отрезка (x = x/1) мы выбираем. Мы задаем порядок начальных условий. Все мерные числовые объекты будут соответствовать друг другу относительно этого первоначально заданного произвольного порядка.



Здесь важны два ключевых момента:
1. Длина двух горизонтальных отрезков в двух частях розового прямоугольника - есть вся область значений переменной "a".
2 Между двумя значениями "a1" и "a2" области значений переменной "a" нет ни одного другого элемента этой области значений.

Между этими двумя точками: "a1", "a2" и локализуется "da" - дифференциал переменной "a", когда мы опять соединим обе части розового прямоугольника в один общий объект:





Таким образом вся область значений переменной "a" будет дискретно разбита на дифференциалы. Их численное значение относительно длины единичного отрезка будет равна нулю, но они будут задавать порядок расположения точек на отрезке "a":





Часть 2-я здесь


Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments