Имеем две переменные: u и v заданные аналитически в виде двух букв латинского алфавита.
В общем виде эти переменные различны. То есть, их значения никак не связаны друг с другом. Тогда их взаимодействие будет описываться алгебраически. То есть, численную связь между их произвольными значениями можно задавать любым набором известных математических действий и вычислять согласно заданного аналитического алгоритма.
Эти переменные могут представлять собою любую физическую величину в виде любого символа. Мы фиксируем этот символ, в своем мозгу, в виде буквы.
Так как у нас не математический учебник, а полиинформационный блог, то вся информация подается схематично без акцентов на логическую последовательность причинно-следственных связей.
Для визуализации аналитичской формы записи введем геометрическую подстановку: "значение переменной в виде числа, подставляемого вместо выбранной буквы - есть отношение длины отрезка, соответствующего этому значению, к длине отрезка, произвольно определяемого как единичный".
Выберем для связи двух переменных: u и v математическое действие "умножение": u · v = w.
По одному из геометрических правил прямоугольника: "произведение длин двух смежных сторон прямоугольника равно площади этого прямоугольника", имеем следующую геометрическую визуализацию аналитического выражения "u · v = w":
Допустим, что наши знания еще не преодолели рубеж между алгеброй и математическим анализом. Тогда формула интегрирования по частям:
"u · v = ∫ u dv + ∫ v du"
представляется нам как свойство "коммутативности" для действия "умножения":
"u · v = v · u"
Почему так? Потому, что значения одной из двух переменных не зависят от значений другой переменной. То есть, значение одной из двух переменных будет константой для любых значений другой переменной:
"u · v = u∫dv + 0 = u · v"
"u · v = 0 +v∫du = v · u"
Теперь я обращу ваше внимание на один момент. Но без объяснений. В алгебре под буквой, которой обозначается переменная, подразумевается ОДНО число. Любое, которое может принимать переменная, но только ОДНО! Именно это число и является целью поиска при решении алгебраического уравнения. Хотя, корней у уравнения может быть несколько. Это обусловлено алгоритмом приравнивания выражения к нулю.
В современной трактовке матанализа переменную решили заменить понятием "множества". То есть, вместо одного произвольного значения переменной подразумевается некое множество значений этой переменной.
Приведу пример. В работе "Дифференцирование" Леонард Эйлер приводит пример, когда расстояние, на которое пушка выстреливает ядро, есть функция двух переменных: угла, на который повернут, относительно уровня земли, ствол пушки и количества пороха, которое засыпается в ствол.
Эти три переменные связаны между собой уравнением. Допустим, мы засыпаем каждый раз одно и то же количество пороха. То есть, скорость вылета ядра - константа. Тогда расстояние полета ядра есть функция угла. Меняя угол будем изменять расстояние полета ядра.
Следовательно, расстояние - есть функция угла. Читаем "Руководство по баллистике":
Под каким углом нужно стрелять из 82-мм батальонного миномёта основным зарядом, чтобы мина полетела на дальность 200 м?
Преобразуя формулу для выражения Sin2Θ0, получим:
По таблицам тригонометрических величин находим, что при значении Sin2Θ0=0,4 угол 2Θ0 будет равен 23°35'.Следовательно, угол Θ0 должен быть равен 11°47', что соответствует Θ=78° 13'.
Сравнивая результаты с таблицами стрельбы, видим, что в расчёте мы допустили ошибку, равную всего 42'.
Допустим, мы решили провести некоторое количество опытов и записать результаты этих опытов в таблицу. Меняем, последовательно, угол наклона пушечного ствола, относительно земли, и записываем расстояние на которое улетело ядро.
Получили таблицу с результатами. Теперь, в соответствии с результатами этой таблицы, чертим линию "графика функции" зависимости расстояния от угла.
Кто-нибудь сможет отетить мне на два вопроса?
1. С чем в реальном мире можно ассоциировать отображение двух множеств функции зависимости длины полета ядра от угла наклона ствола по отношению к уровню земли, если пушка всего одна, значит и угол - только один? Где это множество находится кроме как в виде иллюзии в мозгу? C переменными-то все понятно: одному значению одной переменной соответствует связанное формулой одно значение другой переменной.
2. Траекторией движения чего, в реальном мире, является линия графика функции, начерченного по результатам измерений, занесенных в таблицу? Какая "математическая точка" движется по линии графика? Кто или что ее "движет" и с какой скоростью? )))
Дополнительный вопрос. напишите формулу интеграла Римана под графиком функции.
Можно использовать две части "графика функции", взятые отсюда:
Теперь самый главный вопрос: "А может быть ДИАГРАММА и ГРАФИК ФУНКЦИИ - это нечто принципиально различное и их связывает только то, что оба объекта визиуализированы в виде линии?"
Если на ДИАГРАММЕ есть угол и есть расстояние, в виде двух числовых осей, но нет ВЫСТРЕЛА, то нет и никакой линии.
А линии зависимости двух переменных на "графике функции" не требуется никакого ВЫСТРЕЛА. Не требуется ни скорости, ни времени.
Вспоминаем "самолеты", построенные аборигенами из глины, и внешне схожие с ними самолеты, которые летают... ))
