Для того, чтобы ответить на вопрос: "Что такое интеграл?" необходимо уяснить, по крайней мере, два момента. Из настоящей математики, а не из той, которую изучают в школе... В школе преподают упрощенный, примитивный, вариант. Для неофитов. Для тех, кому практически невозможно доказать великую теорему Ферма. Для неофитов она: ВЕЛИКАЯ. Потому, что в этой примитивной математике нет разделения на меру и порядок. Хотя, "по касательной" с этим разделением неофиты сталкиваются уже при изучении арифметики. В Википедии есть статья: Приоритет операции.
Например, есть некая последовательность математических действий: 2(1+5)-4. В математике для неофитов есть некие ПРАВИЛА:
[Видеоурок для 2 класса], в соответствии с которыми нахождение искомой величины некоторой МЕРЫ происходит в согласовании с неким обусловленным ПОРЯДКОМ математических действий. О чем это я?!
Покажу на конкретном геометрическом примере. Естественно, частный случай, но который позволяет уловить некий, неуловимый, по-началу, смысл.
2(1+5)-4. Есть два варианта результата действия умножения.
Первый вариант приводит к изменению МЕРЫ без изменения ПОРЯДКА. И второй вариант, который приводит к изменению и МЕРЫ, и ПОРЯДКА. Если Вы умножаете две численные величины различного ПОРЯДКА, то получаете, в результате умножения, величину другого ПОРЯДКА.
Физический пример:
1. Вы умножаете меру "2" силы тока (2 Ампера) на меру "6" сопротивления проводника (6 Ом) и получаете меру "12" напряжения (12 Вольт).
2. Вы увеличиваете в "2" раза меру "6" силы тока (6 Ампер), то получаете, в результате, измененную величину МЕРЫ того же самого ПОРЯДКА (силы тока): 12 Ампер.
Геометрический пример.
1. К отрезку длиной "1" прибавляете отрезок длины "5". Получаете отрезок суммарной длины "6". Происходит изменение меры при сохранении порядка. Умножаете на длину отрезка "2". Получаете площадь "12". Изменилась мера и изменился порядок. Из площади "12" вычитаете площадь "4". Получаете в ответе площадь "8".
2. Увеличиваете в 2 раза длину суммарного отрезка "6". Получаете отрезок длиной "12". Изменили МЕРУ, при сохранении ПОРЯДКА. Из длины "12" вычитаете длину "4". Получаете в ответе длину "8".
То есть, применяя скобки и устанавливая приоритет математических действий, мы тем самым, неосознанно, ранжируем ПОРЯДОК.
У Рене Декарта в "Правилах для руководства ума" приведен следующий пример: [пример Декарта]
ранжирования порядка и меры.Обращаю внимание на величину: "разы". Это очень важный элемент порядка. Он сохраняет неизменной величину рассматриваемого порядка при выполнении математических действий заданного формулой численного алгоритма.
Продолжение следует.
